Hàm số khả vi là gì

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ta đã hiểu được khái niệm đạo hàm riêng rẽ cho bọn họ biết được tốc độ chuyển đổi của hàm số khi cho 1 trong những biến số biến đổi giá trị. Bây gờ, chúng ta sẽ phân tích sự biến hóa của hàm số 2 thay đổi

khi cho cả hai phát triển thành số nỗ lực đổi.

Bạn đang xem: Hàm số khả vi là gì

Xét hàm số

cùng là vấn đề thuộc miền khẳng định D. Ta cho x, y biến hóa 1 lượng tương xứng sao cho . Lúc đó, giá trị của hàm số sẽ chuyển đổi một lượng:

1. Định nghĩa 1:

Hàm số f(x;y) được hotline là khả vi trên điểm

trường hợp số gia toàn phần rất có thể biểu diễn được bên dưới dạng:

(1)

trong kia A, B là mọi số không nhờ vào Δx, Δy; còn α, β → 0 lúc Δx, Δy → 0

Khi đó, đại lượng A.Δx +B.Δy được hotline là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) trên

ứng với những số gia Δx, Δy và được ký hiệu

Ví dụ:

Xét hàm số

. Ta có:

Hay:

Do đó:

Cho yêu cầu hàm số khả vi tại

và

Nhận xét:

1. Xét

,

Cho

thì . Khi đó, vận dụng bất đẳng thức B.C.S và giới hạn kẹp ta có:

Do đó, ε là ngân hàng ngoại thương vietcombank khi ρ → 0.

Vì vậy, biểu thức (1) hoàn toàn có thể viết bên dưới dạng:

, 0(ρ) là vô cùng bé nhỏ bậc cao hơn nữa ρ.

2. Ta không thể sử dụng định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số

như sinh hoạt ví dụ 1 được. Tổng quát, chỉ rất có thể áp dụng quan niệm để xét sự khả vi cho hồ hết hàm số dạng đa thức, còn những hàm số không giống thì ko thể dùng định nghĩa để khảo sát sự khả vi ở một điểm. Vì vậy, ta rất cần được tìm một hiện tượng khác để giải quyết vấn đề này.

3. Hàm số

được call là khả vi trên miền D trường hợp nó khả vi tại hồ hết điểm thuộc D.

2. Định lý 1: (Điều kiện nên để hàm số khả vi)

Nếu hàm số

khả vi tại thì nó thường xuyên tại điểm đó.

Chứng minh:

Vì hàm số khả vi, buộc phải từ công thức (1) ta có:

} = 0 " class="latex" />

Vậy:

Do đó, hàm số liên tục tại

.♦

Nhận xét:

1. Nếu hàm số f(x;y) không tiếp tục tại

thì sẽ không khả vi trên điểm đó.

Xem thêm: Số Ký Hiệu Chứng Thực Tổ Chức Tên Là Gì, Sổ Chứng Thực Và Số Chứng Thực Là Gì

2. Hàm số khả vi bên trên miền D thì liên tục trong miền đó.

3. Định lý 2:

Nếu f(x;y) khả vi trên

thì nó có những đạo hàm riêng trên cùng chúng khớp ứng bằng A với B trong biểu thức 1 của khái niệm hàm số khả vi.

Chứng minh:

Thật vậy, từ công thức (1) ta mang lại

, ta được:

trong kia α →0 lúc Δx → 0.

Do đó:

Vậy

Hoàn toàn tựa như ta có:

Nhận xét:

1. Như vậy, ví như hàm số f(x,y) khả vi trên

thì vi phân toàn phần của hàm số trên được xác minh bởi:

2. Khác với hàm tiên phong hàng đầu biến (nếu hàm số gồm đạo hàm thì vẫn khả vi), nếu hàm số hai trở thành số f(x,y) có các đạo hàm riêng biệt tại $latex(x_0;y_0) thì chưa kiên cố nó sẽ khả vi trên điểm đó. Ta xét hàm số sau:

Theo định nghĩa đạo hàm riêng, ta có:

Tương từ ta có:

tuy vậy hàm số G(x;y) không thường xuyên tại (0; 0) (xem phần giới hạn hàm các biến) đề xuất không khả vi trên (0;0)

4. Định lý 3 (Điều khiếu nại đủ để hàm số khả vi)

Cho hàm số f(x;y) có các đạo hàm riêng rẽ trong một miền D chứa điểm

. Nếu các đạo hàm riêng biệt ấy thường xuyên tại M thì hàm số khả vi tại điểm đó.

5. Các ví dụ:

1. Cho hàm:

Tính

với . Hàm có khả vi trên (0;0) hay không?

Giải

Để tính những đạo hàm riêng tại (0;0) ta cần dùng định nghĩa nhưng không thể thay giá trị (0;0) vào biểu thức đạo hàm

Ta có:

tương tự:

= =

Mặc dù, hàm số bao gồm 2 đạo hàm riêng biệt tại (0;0) tuy nhiên không khả vi tại điểm đó vì hàm số đã mang đến không liên tiếp tại (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo mặt đường thẳng y = kx ta có.

Xem thêm: Thủ Thuật Tìm Kiếm Trên Facebook ? 9 Cách Để Tìm Mọi Người Bằng Facebook Search

Vậy cực hiếm giới hạn phụ thuộc vào thông số k nện giới hạn không tồn tại.

Do đó:

Nên hàm số không liên tiếp tại (0;0) và vì thế nó không khả vi tại (0;0)

2. Kiếm tìm vi phân của hàm số:

Hàm số luôn xác minh và liên tục với phần đông

buộc phải khả vi tại mọi điểm . Khi ấy ta có: